「元日」と「元旦」どちらも新年が始まる最初の日、つまり1月1日に対して使われる言葉ですが、正確には意味が異なります。
「元日」というのは、1月1日のことを示すのに対し、「元旦」は、1月1日の朝のみを示しています。

「元」という文字には、「はじめ」という意味や「もと」という意味があり、
一年の一番はじめの日(1月1日)を「元日」としています。
また、「元旦」に使う「旦」を見ると、「日」と「―」で成り立っていることが分かります。「―」は地平線を示し、まさに太陽(日)が、地平線「―」に現れる様子を表しています。まるで新年の幕開けを飾る初日の出を「旦」の文字、一文字で示しているといっても過言ではなさそうです。
意味を知ると、「元旦の朝」や「元旦は午後」という表現は本来であれば相応しくない表現ということがよく分かります。